Tính đạo hàm

Ta sẽ chứng minh công thức đúng bằng phương pháp quy nạp :
Với $n=1 : y'=\cos x=\sin \left ( x+\frac{\pi}{2} \right )\Rightarrow$ công thức đúng với $n=1$.
Giả sử công thức đúng với $n=k : y^{\displaystyle (k)}=\sin \left ( x+\frac{k\pi}{2} \right )$
Ta sẽ chứng minh công thức đúng với $n=k+1$
nghĩa là  $y^{\displaystyle (k+1)}=\sin \left ( x+\frac{(k+1)\pi}{2} \right )$
Thật vậy, áp dụng công thức tính đạo hàm cấp $n$ ta được :
$y^{\displaystyle (k+1)}(x)=\left[ {y^{\displaystyle (k)}(x)} \right]^\prime=\left[ { \sin \left ( x+\frac{k\pi}{2} \right )} \right]^\prime=\cos \left ( x+\frac{k\pi}{2} \right )=\sin \left ( x+\frac{(k+1)\pi}{2} \right )$.
Vậy $y^{\displaystyle (k+1)}=\sin \left ( x+\frac{(k+1)\pi}{2} \right )$ luôn đúng.
Do đó : $y^{\displaystyle (n)}=\sin \left ( x+\frac{n\pi}{2} \right )$       với $n \in \mathbb{N}$.  
 Các bài tập tương tự các bạn có thể theo dõi tại

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Chuyen-De/113568/dao-ham-cap-cao