Tương giao và Tiếp tuyến

Question

Hàm số $y=x^3-3x^2+mx+4-m (C)$. Xác định $m$ để đường thẳng cắt $(d) y=3-x$ tại 3 điểm phân biệt $A(1; 2), B,C$ sao cho tiếp tuyến với đường thẳng $(C)$ tại $B,C$ lần lượt cắt $(C)$ ở $M,N$ thoả mãn $BMNC$ là hình thoi.

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 9/26/2012 10:43:05 AM

Mình vẫn cảm thấy mơ hồ về đề bài của bạn và không thể phác họa được hình vẽ theo các giả thiết như thế này.
Nếu đề bài vẫn như trên thì mình sẽ đưa ra lời giải như sau

Xét PT tương giao
$x^3-3x^2+mx+4-m=3-x$
$\Leftrightarrow x^3-x^2-2x^2+2x+(m-1)x-(m-1)=0$
$\Leftrightarrow (x-1)(x^2-2x+m-1)=0$
Dễ thấy hoành độ của $B,C$ là nghiệm của PT $x^2-2x+m-1=0 (*) \Leftrightarrow (x-1)^2=2-m$
Từ đây ta phải có $m<2$ và $x_{B,C}=1 \pm \sqrt{2-m}$.
Thay trở lại PT của $(d)$ ta có
$B\left (1+ \sqrt{2-m}; 2- \sqrt{2-m} \right )$ và $C\left (1- \sqrt{2-m}; 2+ \sqrt{2-m} \right )$
Và thấy rằng $A$ là trung điểm của $BC$ và $BC=2\sqrt{4-2m}$.
Vẽ đường tròn $(\alpha)$ tâm $A(1;2)$ đường kính $BC$ thì
$(\alpha) : (x-1)^2+(y-2)^2=4-2m$

Tiếp đến do $BMNC$ là hình thoi nên $BM \parallel CN \implies y'(x_B)=y'(x_C)$.
Do $y'=3x^2-6x+m \implies y'(x_B)=y'(x_C)=3-2m$
Qua $A$ vẽ đường thẳng song song với $BM, CN$ cắt đường tròn $(\alpha)$ tại $I$ thì $I$ chính là giao điểm hai đường chéo của hình thoi $BMNC$. Tọa độ của $I$ là nghiệm của hệ
$\begin{cases}(x-1)^2+(y-2)^2=4-2m \\ y=(3-2m)(x-1)+2 \end{cases}\Leftrightarrow I\left (1 \pm \sqrt{\frac{2-2m}{2m^2-6m+5}}; (3-2m)\left (\pm \sqrt{\frac{2-2m}{2m^2-6m+5}} \right )+2\right )$

Ta có $I$ là trung điểm của $BN, CM$
$\implies \begin{cases}N=(2x_I-x_B; 2y_I-y_B) \\ M=(2x_I-x_C; 2y_I-y_C) \end{cases}$
Từ đó tìm được tọa độ của $M,N$ theo $m$.
Do $M,N \in (C)$ nên ta thay tọa độ này vào PT của $(C)$ và tìm được $m$.