Hàm số bậc 4 cắt trục hoành lập thành cấp số cộng

Question

Tìm m để đồ thị

$y=x^4+(m-2)x^2-m+1$ cắt

$Ox$ tại

$4$ điểm

$A, B, C, D$ từ trái sang phải sao cho

$AB=BC=CD$

Lee · Answer 1 · 9/27/2012 11:14:39 PM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Xét PT tương giao

$x^4+(m-2)x^2-m+1 =0$

Gọi

$x_1<x_2<x_3<x_4$ là hoành độ của

$4$ điểm mà hàm số cắt trên trục hoành.

Yêu cầu bài toán (YCBT) tương đương với

$x_2-x_1=x_3-x_2=x_4-x_3$

Đặt

$t=x^2 \implies f(t)=t^2+(m-2)t-m+1 =0 (1)$

Như vậy YCBT

$\Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm dương phân biệt

$t_2>t_1>0$ , lúc đó giả sử

$x_1=-\sqrt{t_2}, x_2=-\sqrt{t_1}, x_3=\sqrt{t_1}, x_4=\sqrt{t_2}$

và thỏa mãn

$-\sqrt{t_1}+\sqrt{t_2}=\sqrt{t_1}--\sqrt{t_1}=\sqrt{t_2}-\sqrt{t_1}\Leftrightarrow \sqrt{t_2}=3\sqrt{t_1}\Leftrightarrow t_2=9t_1$

Vậy tóm lại TCBT

$\Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm dương phân biệt

$t_2>t_1>0$ sao cho

$t_2=9t_1$ .

$\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta >0 \\t_2=9t_1 \\-\frac{b}{a}=t_1+t_2=10t_1 >0\\\frac{c}{a}=t_1t_2=9t_1^2 >0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m^2 >0 \\t_2=9t_1 \\2-m=10t_1 >0\\1-m=9t_1^2 >0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}m \ne 0 \\ m<1 \end{cases}$

Từ

$\begin{cases}2-m=10t_1\\ 1-m=9t_1^2 \end{cases} \Rightarrow\begin{cases}t_1=\frac{2-m}{10}\\ t_1^2 =\frac{1-m}{9} \end{cases}\Rightarrow \left (\frac{2-m}{10}\right )^2=\frac{1-m}{9}\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} m=-8\\ m=\frac{8}{9}\end{matrix}} \right.$

lịch sử

Sửa 27-09-12 11:14 PM

Lee
1

113K 149K

Trả lời 27-09-12 10:59 PM

Lee
1

113K 149K

bạn ơi cho mình hỏi ở ngay con nghiệm là sao bạn biết được x1=trừ căn t2, x2=trừ căn t1, x3= căn t1, x4= căn t2... mình thắc mắc là giả sử t= m (-) căn 1-m vs đk m<1 thì khi lấy (-) căn t có thể là - căn t1 > căn t1.. mà theo đk thì x4>x3>x2>x1 nên phải – darkkid1230 23-06-15 03:59 PM

quá hay luôn. thanks!!! – nuchoichoi 16-07-14 03:02 PM

Đúng bài mình đang cần :) Cám ơn bác Lee nhá. – Minsoft 28-09-12 08:58 AM

cám ơn bác nhé :)) – phidacngo 27-09-12 11:29 PM