Bài toán về véc-tơ lớp 10.

Question

Cho $\Delta ABC,\,M,\,N$ là 2 điểm thỏa mãn $3\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0},\, \overrightarrow{CN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC},\,G$ là trọng tâm $\Delta ABC.$

a) Chứng minh $M,\,G,\,N$ thẳng hàng.
b) Tính $\overrightarrow{AC}$ theo $\overrightarrow{AG}$ và $\overrightarrow{AN}$ . Gọi $P$ là giao điểm của $AC$ và $GN.$ Tính $\dfrac{PA}{PC}?$

score 5 · Answer 1

b)
Ta có:

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$
Lại có:

$2\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{BC} \Leftrightarrow 2(\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}(3\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})$
Suy ra:

$3\overrightarrow{AG}+2\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=4\overrightarrow{AC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AN}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AG}$

Giả sử:

$\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AC} \Rightarrow \overrightarrow{AP}=\frac{k}{2}\overrightarrow{AN}+\frac{3k}{4}\overrightarrow{AG}$
Vì

$G,P,N$ thẳng hàng nên:

$\frac{k}{2}+\frac{3k}{4}=1 \Leftrightarrow k=\frac{4}{5}$
T ừ đó suy ra:

$\frac{AP}{PC}=4$

score 5 · Answer 2

a)
Ta có:

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

$3\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow 3(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA})+4(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB})=\overrightarrow{0}$