bài nữa nhé mọi người

Question

Cho $\triangle ABC$.Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.Chứng minh rằng :
$\sin A.\overrightarrow {IA}+\sin B.\overrightarrow {IB}+\sin C.\overrightarrow {IC}=\overrightarrow {0}$
Có thể tổng quát kết quả trên được không cho đa giác lồi $n$ cạnh $A_{1}A_{2}...A_{n}$ ngoại tiếp đường tròn tâm $I$,tức là:
$\sum\limits_{i=1}^n \sin A_{i}.\overrightarrow {IA_{i}}=\overrightarrow {0} $

score 5 · Answer 1

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Đặt $a=BC,b=CA,c=AB$. Giả sử $IA\cap BC=\{D\} $
Ta có:
$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}\Rightarrow \overrightarrow{ID}=\frac{b}{c+b}\overrightarrow{IB}+ \frac{c}{c+b}\overrightarrow{IC} (1)$
$\frac{IA}{ID}=\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}=\frac{AB+AC}{BC}=\frac{b+c}{a}\Rightarrow a\overrightarrow{IA}+(b+c)\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0} (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra:
$ a\overrightarrow{IA}+ b\overrightarrow{IB}+ c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow 2R\sin A.\overrightarrow{IA}+2R\sin B.\overrightarrow{IB}+ 2R\sin C.\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ , đpcm.