chứng minh ham tuần hoàn

Question

$f(x+a)=\frac{1}{2}+\sqrt{{f(x)}-f^{2}(x)}$

score 2 · Answer 1

Vì

$\sqrt{f(x)-(f(x))^{2}}\geq 0$ , suy ra

$f(x+a)\geq \frac{1}{2}$ hay

$f(x)\geq \frac{1}{2}$ .

Bình phương đẳng thức, ta được:

$(f(x+a))^{2}-f(x+a)+\frac{1}{4}=f(x)-(f(x))^{2}$ , tương đương với:

$|f(x)-\frac{1}{2}|=\sqrt{f(x+a)-(f(x+a))^{2}}$ . (*)

Thay

$x$ bới

$x+a$ :

$f(x+2a)-\frac{1}{2}=\sqrt{f(x+a)-(f(x+a))^{2}}$ .
Từ (*) và áp dụng

$f(x)\geq \frac{1}{2}$ , ta được:

$f(x)-\frac{1}{2}=f(x+2a)-\frac{1}{2}$ , hay

$f(x)=f(x+2a)$
Suy ra:

$f$ tuần hoàn.

1 Đáp án