tính tổng

Question

$S=\frac{1^{4}}{1\times 3}+\frac{2^{4}}{3\times 5}+....+\frac{n^{4}}{(2n-1)(2n+1)}$

score 3 · Answer 1

Đặt

$S_n=\frac{1^{4}}{1.3}+\frac{2^{4}}{3.5}+....+\frac{n^{4}}{(2n-1)(2n+1)}$
Ta chứng minh

$S_n=\frac{n(n+1)(n^2+n+1)}{6(2n+1)}, \forall n\ge 1$
*) Với

$n=1$ , ta có:

$S_1=\frac{1}{3}=\frac{1.2.3}{6.3}$ , đúng.
*) Giả sử mệnh đề đúng với

$n=k,k\ge 1$ , tức

$S_k=\frac{k(k+1)(k^2+k+1)}{6(2k+1)}$
Ta chứng minh mệnh đề đúng với

$n=k+1$
Ta có:

$S_{k+1}=S_k+\frac{(k+1)^4}{(2k+1)(2k+3)}$

$= \frac{k(k+1)(k^2+k+1)}{6(2k+1)}+\frac{(k+1)^4}{(2k+1)(2k+3)}$

$=\frac{(k+1)[k(k^2+k+1)(2k+3)+6(k+1)^3]}{6(2k+1)(2k+3)}$

$=\frac{(k+1)(2k^4+11k^3+23k^2+21k+6)}{6(2k+1)(2k+3)}$

$=\frac{(k+1)(k+2)(2k+1)(k^2+3k+3)}{6(2k+1)(2k+3)}$

$=\frac{(k+1)(k+2)[(k+1)^2+(k+1)+1]}{6(2k+3)}$ , đpcm.
Vậy:

$S_n=\frac{n(n+1)(n^2+n+1)}{6(2n+1)}, \forall n\ge 1$

1 Đáp án