có mấy bài hệ pt khó, k bít làm

Question

Giải hệ

$\begin{cases}x^5+xy^4=y^{10}+y^6 \\ \sqrt{4x+5}+\sqrt{y^2+8}=6 \end{cases}$

score 6 · Answer 1

Dễ thấy

$y=0$ không phải là nghiệm.
Phương trình thứ nhất tương đương với:

$\frac{x^5}{y^5}+\frac{x}{y}=y^5+y$
Xét hàm:

$f(t)=t^5+t,t\in\mathbb{R}$ .
Ta có:

$f'(t)=5t^4+1>0,\forall t\in\mathbb{R}$ .
Suy ra

$f(t)$ đồng biến trên

$\mathbb{R}$ .
Vậy

$f(\frac{x}{y})=f(y)\Leftrightarrow \frac{x}{y}=y\Leftrightarrow x=y^2$
Thay vào phương trình thứ hai ta được:

$\sqrt{4x+5}+\sqrt{x+8}=6$
Xét hàm:

$g(t)=\sqrt{4t+5}+\sqrt{t+8}$
Ta có:

$g'(t)=\frac{2}{\sqrt{4t+5}}+\frac{1}{2\sqrt{t+8}}>0$
Suy ra:

$g(t)=6$ có nhiều nhát 1 nghiệm.
Mà

$g(1)=6\Rightarrow x=1$
Vậy nghiệm của hệ là:

$(x;y)\in\{(1;-1);(1;1)\}$

1 Đáp án