|
|
Phương trình đã cho tương đương với:
$3\sin x-4\sin^3x+4\cos^3x-3\cos x-\sin x+\cos x=\sqrt2(\cos^2x-\sin^2x)$
$\Leftrightarrow 2(\cos x-\sin x)+4(\cos x-\sin x)(\cos^2x+\sin x\cos x+\sin^2x)=\sqrt2(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)$
$\Leftrightarrow (\cos x-\sin x)[2+4(1+\sin x\cos x)-\sqrt2(\sin x+\cos x)]=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x=\sin x&(1)\\ 2+4(1+\sin x\cos x)-\sqrt2(\sin x+\cos x)=0&(2)\end{array} \right.$
Ta có: $(1)\Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$.
Đặt $t=\sin x+\cos x\Rightarrow t^2=1+2\sin x\cos x\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$
Phương trình $(2)$ trở thành:
$2+4(1+\frac{t^2-1}{2})-\sqrt2t=0$
$\Leftrightarrow 2t^2-\sqrt2t+4=0$, vô nghiệm.
Vậy: $x=\frac{\pi}{4}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$
|