phương trình 20

Question

$\sqrt[3]{6x+1} = 8x^{3} -4x-1$

score 5 · Answer 1

Xét hàm:

$f(t)=t^3+t,t\in\mathbb{R}$
Ta có:

$f'(t)=3t^2+1>0, \forall t\in\mathbb{R}$
Suy ra:

$f(t)$ đồng biến trên

$\mathbb{R}$ .
Phương trình đã cho tương đương với:

$6x+1+\sqrt[3]{6x+1}=8x^3+2x$

$\Leftrightarrow f(\sqrt[3]{6x+1})=f(2x)$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{6x+1}=2x$

$\Leftrightarrow 6x+1=8x^3$

$\Leftrightarrow 4x^3-3x=\frac{1}{2} (1)$
Xét

$x\in[-1;1]$ , đặt:

$x=\cos t,t\in[0;\pi]$ , ta có:

$4\cos^3t-3\cos t=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \cos3t=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow t\in\{\frac{\pi}{9};\frac{5\pi}{9};\frac{7\pi}{9}\}$ (vì

$t\in[0;\pi]$ )
Mà

$(1)$ có nhiều nhất 3 nghiệm nên

$(1)$ không có nghiệm

$x\notin[-1;1]$
Vậy:

$x\in\{\cos\frac{\pi}{9};\cos\frac{5\pi}{9};\cos\frac{7\pi}{9}\}$

1 Đáp án