|
|
Xét hàm: $f(t)=t^3+t,t\in\mathbb{R}$
Ta có: $f'(t)=3t^2+1>0, \forall t\in\mathbb{R}$
Suy ra: $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Phương trình đã cho tương đương với:
$6x+1+\sqrt[3]{6x+1}=8x^3+2x$
$\Leftrightarrow f(\sqrt[3]{6x+1})=f(2x)$
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{6x+1}=2x$
$\Leftrightarrow 6x+1=8x^3$
$\Leftrightarrow 4x^3-3x=\frac{1}{2} (1)$
Xét $x\in[-1;1]$, đặt: $x=\cos t,t\in[0;\pi]$, ta có:
$4\cos^3t-3\cos t=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \cos3t=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow t\in\{\frac{\pi}{9};\frac{5\pi}{9};\frac{7\pi}{9}\}$ (vì $t\in[0;\pi]$)
Mà $(1)$ có nhiều nhất 3 nghiệm nên $(1)$ không có nghiệm $x\notin[-1;1]$
Vậy: $x\in\{\cos\frac{\pi}{9};\cos\frac{5\pi}{9};\cos\frac{7\pi}{9}\}$
|