Ta có : \frac{a}{b^{3}+2} = \frac{1}{2}\left ( a-\frac{ab^{3}}{b^{3}+2} \right )= \frac{1}{2}\left ( a-\frac{ab^{3}}{b^{3}+1+1} \right ) \geq \frac{1}{2}\left ( a-\frac{ab^{3}}{3b} \right ) =
\frac{1}{2}\left ( a-\frac{ab^{2}}{3}\right )Do đó:
\Sigma\frac{a}{b^{3}+2}\geq\frac{1}{2}\Sigma \left ( a- \frac{ab^{2}}{3}\right ).
Ta sẽ chứng minh:
ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc\leq 4
Thật vậy không mất tính tổng quát, giả sử b nằm giữa a và c, thế thì a\left ( b-a \right )\left ( b-c \right )\leq 0.
Theo BĐT AM-GM thì:
ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc = b\left ( a+c \right )^{2}-a\left ( b-a \right )\left ( b-c \right ) \leq b\left ( a+c \right )^{2}\leq 4
Do đó: ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\leq 3.
Vậy \Sigma \frac{a}{b^{3}+2}\geq\frac{1}{2}\Sigma a-\frac{1}{2}\geq\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1 (đpcm)