Gọi I(a;b;c) là trung điểm của BC.
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Do G∈d⇒G(2+t,2+2t,−2−t)
Ta có:
→AG=(t+3,2t,−t−3)
→AI=(a+1,b−2,c−1)
Mà →AI=32→AG=32(t+3,2t,−t−3)
⇒{a+1=32(t+3)b−2=32.2tc−1=32(−t−3)
⇔{a=32t+72b=3t+2c=−32t−72
Mà I∈(P)⇒2(32t+72)+2(3t+2)−(−32t−72)−4=0
⇔t=−1⇔G(1,0,−1)
⇒→AG=(2,−2,−2)⇒AG2=12
Ta lại có:
BC2=(→AC−→AB)2=AB2+AC2−2→AB→.AC
⇒2→AB→.AC=AB2+AC2−BC2
Mà →AB+→AC=2→AI=3→AG
⇒9AG2=(→AB+→AC)2=AB2+AC2+2→AB→.AC=2(AB2+AC2)−BC2
⇒AB2+AC2=9AG2+BC22=9.12+162=62