Xác định công thức tính số hạng tổng quát của dãy số: u1=1, u2=2, un+2 - 2un+1 + un =1 (1) ($\forall$ n $\in$ N*). Giới hạn chương trình, chỉ mới được học phương pháp quy nạp toán học và xét phương trình đặc trưng (chỉ mới 1 số dạng, chưa được học hết các dạng, như cách giải xét phương trình đặc trưng của (1) chưa được hoc).
Tôi có làm như sau nhưng không biết có chính xác không, mong được chỉ giáo:
Giải:
Sau khi tính u1, u2, u3 dự đoán được: un = 1+$\frac{n(n-1)}{2}(n\in N*$)
Ta chứng minh un =1+$\frac{n(n-1)}{2}$ ($\forall$ n $\in$ N*)
Với n=1 ta có u1 =1 $\Rightarrow$ đúng với $n=1$
Giả sử đúng với uk = 1+$\frac{k(k-1)}{2}$ (k $\in$ N*)
Ta có: uk+1 = 1+2uk - uk-1 = 2 + k(k-1) +1 - 1 - $\frac{(k-1)(k-2)}{2}$
= 2 +$\frac{k.k +k-2}{2}$
= 1+$\frac{k(k+1)}{2}$
= 1 +$\frac{[(k+1)-1](k+1)}{2}$ $\Rightarrow$ đúng với $n=k+1$
Theo nguyên lý quy nạp toán học suy ra đúng với $\forall \in$ N*