Gợi ý giải Thi tốt nghiệp môn Toán - năm 2013

Question

Đề thi tốt nghiệp môn Toán- năm $2013$

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ($7,0$ điểm)
Câu $1$ ($3,0$ điểm). Cho hàm số $y=x^3-3x-1$.
$1,$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm $(C)$ của hàm số đã cho.
$2,$ Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$, biết hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng $9$

Câu $2$ ($3,0$ điểm)
$1)$ Giải phương trình $3^{1-x}-3^x+2=0$
$2)$ tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }(x+1)\cos x dx$.
$3)$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{x^2+3}-x \ln x$ trên đoạn $[1;2]$

Câu $3$ ($1,0$ điểm).
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng $(SAB)$ một góc $30^0$. Tính thể tích của khối chóp $S.ABCD$ theo a.

II. PHẦN RIÊNG- PHẦN TỰ CHỌN ($3,0$ điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần $1$ hoặc phần $2$)
$1.$ Theo chương trình chuẩn
Câu $4.a$ ($2,0$ điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $M(-1; 2; 1)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x+2y+2z-3=0$
$1)$ Viết phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua $M$ và vuông góc với $(P)$.
$2)$ Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc với $(P)$

Câu $5.a$ ($1,0$ điểm). Cho số phức z thỏa mãn $(1+i)z-2-4i=0$. Tìm số phức liên hợp của z.

$2.$ Theo chương trình nâng cao
Câu $4.b$ ($2,0$ điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A(-1; 1;0)$ và đường thẳng d có phương trình $\frac{x-1}{1} =\frac{y}{-2} =\frac{z+1}{1} $
$1)$ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua gốc tọa độ và vuông góc với $d$.
$2)$ Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho độ dài đoạn $AM$ bằng $\sqrt{6}$

Câu $5.b$ ($1,0$ điểm). Giải phương trình $z^2-(2+3i)z+5+3i=0$ trên tập số phức

Đức Vỹ · Answer 1 · 6/4/2013 3:02:51 PM

Câu $1$ :
$1)$
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : $y=x^3-3x-1$
Tập xác định là $D=R$.
Sự biến thiên :
+ Chiều biến thiên : $y'=3x^2-3$
$y'=0 \Leftrightarrow 3x^2-3=0\Leftrightarrow x=-1 $ và $x=1$
+ Bảng biến thiên

+ Đồng biến, nghịch biến
Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-1); (1; +\infty )$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1; 1)$
+ Cực trị :
$X_{CĐ}=-1\rightarrow y_{CĐ}=y(-1)=1$
$X_{CT}=1\rightarrow y_{CT}=y(1)=-3$
+ Giới hạn :
$\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty } y=-\infty ; \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty }y=+\infty $
+ Vẽ đồ thị

b. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng $9$
ta có : $y'=3x^2-3$
$\rightarrow y'=9\Leftrightarrow 3x^2-3=9\Leftrightarrow 3x^2=12$
suy ra $2$ cặp nghiệm:
Nếu $x=2\rightarrow y=1$
Và $x=-2\rightarrow y=-3$
Vậy phương trình tiếp tuyến của $(C)$ :
$y=y'(x_0)(x-x_0)+y_0$
Xảy ra $2$ trường hợp :
+ Trường hợp $1$ : $y-1=9(x-2)\Leftrightarrow y=9x-17$
+ Trường hợp $2$ : $y+3=9(x+2)\Leftrightarrow y=9x+15$

Câu $2$
$1)$ Giải phương trình $3^{1-x}-3^x+2=0$
$\Leftrightarrow \frac{3}{3^x}-3^x+2=0 (*) $
Đặt $3^x=t (t>0)$
$\Leftrightarrow \frac{3}{t} -t+2=0$
Phương trình $(*)\Leftrightarrow 3-t^2+2t=0$
Có nghiệm $t=-1$ (loại) và $t=3$ (thỏa mãn điều kiện)
+ Với $t=3$ thì $3^x=3$ nên $\rightarrow x=1$

$2)$ Tính tích phân : $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }(x+1)\cos x dx$.
$\left\{ \begin{array}{l} x+1\\ \cos xdx =dv\end{array} \right. \rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du=dx\\ v=\int\limits \cos xdx=\sin x \end{array} \right. $
$\rightarrow I=uv \left| \begin{gathered}
b \\
a \\
\end{gathered} \right.-\int\limits_{a}^{b} vdu=(x+1)\sin x\left| \begin{gathered}
\frac{\prod }{2} \\
0 \\
\end{gathered} \right.-\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} } \sin x dx$
$=(x+1)\sin x \left| \begin{gathered}
\frac{\prod }{2} \\
0 \\
\end{gathered} \right.+\cos \left| \begin{gathered}
\frac{\prod }{2} \\
0 \\
\end{gathered} \right.$
$=\frac{\pi}{2} +1-1=\frac{\pi}{2} $

$3)$ Tìm giá trị max, min của hàm số $y=\sqrt{x^2+3} - x\ln x$ trên đoạn $[1;2]$
Tập xác định : $D=[1;2]$
$y'=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+3} } -\ln x -x\frac{1}{x} =\frac{x}{\sqrt{x^2+3} } -\ln x-1$
$y'=0\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{x^2+3} } -\ln x-1=0$
$\Leftrightarrow x=(\ln x+1)\sqrt{x^2+3} $ (vô nghiệm)
$y(1)=\sqrt{1^2+3}-1\ln 1=2\rightarrow \mathop {m{\text{ax}}}\limits_{{\text{[1;2]}}} y=y(1)=2 $
$y(2)=\sqrt{2^2+3} -2\ln 2=\sqrt{7} -2\ln 2\rightarrow \mathop {min}\limits_{{\text{[1;2]}}}y=y(2)=\sqrt{7}-2\ln 2 $

Câu 3: S đáy = $a^2$
Xét tam giác $SAD$ vuông tại A
$\tan 30^0 = \frac{AD}{SA} \Rightarrow SA= \frac{AD}{\tan 30^0}=\frac{a}{\frac{1}{\sqrt{3} } } =a\sqrt{3} $
Suy ra chiều cao $H= SA=a\sqrt{3} $
Vậy $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}S_đ.h=\frac{1}{3}a^2.a\sqrt{3} =\frac{a^3\sqrt{3} }{3} $ (đơn vị thể tích)

Phần riêng (Chuẩn)
Câu 4a:
1) $m(-1;2;1)$
$P: x+2y+2z-3=0           n_p(1;2;2)$
d qua M và vuông góc với P
$\begin{gathered}
   \Leftrightarrow \overline {{u_d}} (1;2;2) \\
   \Leftrightarrow M( - 1;2;1) \\
   \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x = - 1 + t \\
y = 2 + 2t \\
z = 1 + 2t \\
\end{gathered} \right. \\
\end{gathered}$

2) S tâm O tiếp xúc với (P)
$P=d(O,P)=\frac{|0+2.0+2.0-3|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2} } =\frac{3}{3}=1 $
Vậy phương trình mặt cầu: $(x-0)^2+(y-0)^2+(z-0)^2=1 \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=1$

Câu $5a$
$a.$ $(1+i).z-2-4i=0$
$\Leftrightarrow z=\frac{2+4i}{1+i} =\frac{(2+4i)(1-i)}{1-i^2} $
$=\frac{2-2i+4i-4i^2}{2}=\frac{6+2i}{2} =3+i$
$z=3+i$
$\Leftrightarrow \overline z=3-i$

Phần Nâng cao
Câu $4b$: Ta có $A (-1; 1;0)$
$d : \frac{x-1}{1} =\frac{y}{-2} =\frac{z+1}{1} ; \overrightarrow{u_d} (1; -2,1)$
Viết $(P)$ qua $O$ và vuông góc với $d$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{n_p}(1, -2,1) \\ O(0,0,0) \end{array} \right. $
$(P) : 1(x-0)-2.(y-0)+1(z-0)=0$
$\Leftrightarrow x-2y+z=0$

* Tìm $M\in d; AM=\sqrt{6} $

$M\in d\rightarrow M(t+1, -2t, t-1)$
$A (-1, 1,0)$
$AM=\sqrt{6} $
$AM^2=6$
$\Leftrightarrow (t+t+1)^2+(-2t-1)^2+(t-1)^2=6$
$\Leftrightarrow (t+2)^2+(2t+1)^2+(t-1)^2=6$
$\Leftrightarrow 6t^2+6t=0\Leftrightarrow t=0$ và $3t+3=0$
$\Leftrightarrow M(1,0,-1)$ và $M(0,2,-2)$

Câu 5b:
$z^2-(2+3i)+5+3i=0$
$\Delta =(2+3i)^2-4.(5+3i)$
$=4-9+12i-20-12i$
$=25i^2$
$z_1=\frac{2+3i-5i}{2}=\frac{2-2i}{2}=1-i $
$z_2=\frac{2+3i+5i}{2}=\frac{2+8i}{2}=1+4i $

nếu chỉ nói pt đó vô nghiệm mà k giải thích thì có đc điểm k ạ?
Đáp án chỉ là tham khảo - gợi ý giải nhé bạn !
Cau 3 lam the kia la sao? y'=0 vo nghiem dau co nghia la ham nghich bien. Can phai chi ra no nho hon 0 nua >