$a.$Vì góc ở tâm gấp đôi góc nội tiếp nên $\widehat{AOB}=2\widehat{C}=90$
Suy ra $O\in$ đường tròn tâm $K$
Vì $M\in$ đường tròn đường kính $AB$ $\Rightarrow \widehat{BMA}=\widehat{BMC}=90$
Kết hợp với $\widehat{C}=45\Rightarrow \triangle MBC$ vuông cân tại $M$
$b.$
$\triangle OAB$ vuông cân tại $O$
$\Rightarrow\widehat{BMO}=\widehat{BAO}=45$
Mà $\widehat{MBC}=45\Rightarrow MO$ vuông góc $BC$
$AN$ cũng vuông góc $BC$ nên $MO//AN$
$c.$
Theo câu $b.$ $MO//AN$ nên $MONA$ là hình thang nội tiếp đường tòn bán kính $AB$
$\Rightarrow MONA$ là hình thang cân $\Rightarrow MN=AO$
$\triangle OAB$ vuông cân $\Rightarrow AB=\sqrt2.OA$
Vậy $AB=\sqrt2.MN$