Do $4a^2+\sqrt2a-\sqrt2=0\Rightarrow 4a^2<\sqrt2\Rightarrow a<1$$4a^2+a\sqrt2-\sqrt2=0$
$\Rightarrow 2\sqrt2a^2+a-1=0$
$\Rightarrow a+1=2-2\sqrt2a^2 (*)$
$\Rightarrow a^4+a+1=a^4-2\sqrt2a^2+2=(\sqrt2-a^2)^2$
$\Rightarrow \sqrt{a^4+a+1}=\sqrt2-a^2$
$\Rightarrow \sqrt{a^4+a+1}-a^2=\sqrt2-2a^2$
$\Rightarrow \frac{a+1}{\sqrt{a^4+a+1}-a^2}=\frac{a+1}{\sqrt2-2a^2}=\sqrt2$ Theo $(*)$