Xét f(t)=lnt khả vi và liên tục với t∈[2n;2n+1]+f′(t)=1t. Theo đlí Lagrange thì ∃c∈(2n;2n+1):
f(2n+1)−f(2n)2n+1−2n=f′(c)
⇒ln(2n+1)−ln2n=1e>12n+1
⇒ln2n+12n>12n+1
⇒ln(2n+12n)2>1
⇒(2n+12n)2n+1>e
⇒(2n2n+1)2n+1<1e (1)
Xét
f(x)=x2n(1−x),0<x<1+f′(x)=[2n−(2n+1x)]x2n−1=0⇒x=2n2n+1
Từ bbt⇒x2n(1−x)≤(2n2n+1)2n.12n+1
⇒2n.x2n(1−x)<(2n2n+1)2n+1 (2)
Từ (1)(2)⇒đpcm