${x^5} = {x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 2$ (1)
* Nhẩm thấy $x=2$ là một nghiệm của phương trình.
* (1) $ \Leftrightarrow {x^5} - {x^4} - {x^3} - {x^2} - x - 2 = 0$
$ \Leftrightarrow (x - 2)({x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1) = 0$
$\Leftrightarrow \left [ \begin{gathered} x =2 \\ {x^4} +{x^3}+{x^2}+x+1=0 (2) \end{gathered} \right.$
* $(2) \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} = 0$ (do $x=0$ không là nghiệm)
Đặt $t = x + \frac{1}{x} \Rightarrow {t^2} - 2 = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}$
Ta có: $\left| t \right| = \left| {x + \frac{1}{x}} \right| = \left| x \right| + \left| {\frac{1}{x}} \right|$ (do $x \& \frac{1}{x}$ cùng dấu)
Áp dụng BĐT Cauchy: $\left| t \right| = \left| x \right| + \left| {\frac{1}{x}} \right| \ge 2\sqrt {\left| x \right|.\left| {\frac{1}{x}} \right|} = 2$
$(2) \Leftrightarrow {t^2} + t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}$ (loại)
Suy ra (2) vô nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=2$.