x5=x4+x3+x2+x+2 (1)
* Nhẩm thấy
x=2 là một nghiệm của phương trình.
* (1) ⇔x5−x4−x3−x2−x−2=0
⇔(x−2)(x4+x3+x2+x+1)=0
⇔[x=2 x4+x3+x2+x+1=0 (2)
* (2)⇔x2+x+1+1x+1x2=0 (do x=0 không là nghiệm)
Đặt t=x+1x⇒t2−2=x2+1x2
Ta có: |t|=∣∣∣x+1x∣∣∣=|x|+∣∣∣1x∣∣∣ (do x & 1x cùng dấu)
Áp dụng BĐT Cauchy: |t|=|x|+∣∣∣1x∣∣∣≥2|x|.∣∣∣1x∣∣∣−−−−−−√ =2
(2)⇔t2+t−1=0⇔t=−1±5√2 (loại)
Suy ra (2) vô nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm du