Hình học giải tích

Question

Cho $(C)$ có pt $x^2 +y^2- 8x +12 =0$ và $E(4;1)$. Tìm $M$ thuộc trục tung $Oy$ để từ $M$ kẻ $2$ tiếp tuyến $MA, MB$ đến $(C) (A,B$ là tiếp điểm) sao cho $AB$ đi qua $E$

Pooh · Answer 1 · 8/26/2013 2:13:16 PM

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Goi $M(0;a)$ H la hinh chieu cua E len AB; I la tam duong tron

$\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IE}=IM.IE. cos(MIE)=IH.IM=R^2\Leftrightarrow -4.0+1.a=0=>a=4$

vay M(0;4)

Trả lời 26-08-13 02:13 PM

Pooh
2K 1 7

122K 282K

score 1 · Answer 2

Gọi tọa độ $M(0;\ a) \in Oy$, đường tròn $(C)$ có tâm $I(4;\ 0);\ R = 2$

Xét tam giác vuông $MAI$ có $MA^2 = MI^2 - IA^2 = 12 + a^2$ và hiển nhiên $MA = MB = \sqrt{12+a^2} \Rightarrow A;\ B$ thuộc đường tròn $(C')$ tâm $M$ bán kính $R' = \sqrt{12 +a^2}$

pt $(C'): x^2 + (y - a)^2 = 12+a^2$ hay $(C'): x^2 + y^2 -2ay -12 = 0$

vậy tọa độ $A;\ B$ là nghiệm hệ $\begin{cases} x^2 + y^2 - 8x + 12 = 0 \\ x^2 + y^2 -2ay - 12 = 0 \end{cases}$

Trừ 2 pt cho nhau có $8x - 2ay - 24 = 0$ đây chính là pt đường thẳng $AB$

$(AB)$ đi qua $E(4;\ 1) \Rightarrow 8.4 - 2a - 24 = 0 \Rightarrow a = 4 \Rightarrow M(0;\ 4)$