$I=\int\limits \frac{xdx}{\sin^2x}=\int\limits \left (\cot x -\cot x+ \frac{x}{\sin^2x} \right )dx$
$= \int\limits \cot xdx- \int\limits \left (\cot x- \frac{x}{\sin^2x} \right )dx$
$= \int\limits \frac{d(\sin x)}{\sin x}- \int\limits \left (x\cot x \right )'dx$
$=\left[ {\ln |\sin x|-x\cot x} \right]+C $