Bất phương trình chứa tham số

Question

Tìm m để

$1+\frac{2}{3}\sqrt{x-x^2}=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}-m$ có nghiệm

$\in$ D

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 10/15/2013 11:32:04 AM

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

Đặt

$t=\sqrt{x} + \sqrt{1-x}$

Khảo sát hàm

$g(x)=\sqrt{x} + \sqrt{1-x}$ trên

$[0,1]$

$\Rightarrow 1 \le t \le \sqrt 2.$

và

$t^2=1+ 2\sqrt{x-x^2}\Rightarrow \sqrt{x-x^2}=\dfrac{t^2-1}{2}$

PT đã cho

$\Leftrightarrow m+1=t-\dfrac{t^2-1}{3}=f(t)$

trong đó

$f'(t)=1-\dfrac{2}{3}t$ và

$f'(t)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{3}{2}>\sqrt 2$

Vẽ bảng biến thiên của

$f(t)$ với chú ý

$f(1)=1, f(\sqrt 2)=\sqrt 2 -1/3$

Như vậy PT có nghiệm

$\Leftrightarrow 1 \le m+1 \le \sqrt 2-1/3\Leftrightarrow 0 \le m\le\sqrt 2-4/3.$

Trả lời 15-10-13 11:32 AM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Hãy ấn chữ V dưới chữ đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Các bài tiếp theo mình sẽ sẵn sàng giúp đỡ bạn. T – Trần Nhật Tân 15-10-13 11:32 AM