Ta có : $\frac{a^2}{a+2b^3}$ = a - $\frac{2ab^3}{a+2b^3}$ $\geq$ a - $\frac{2ab^3}{3\sqrt[3]{ab^6}}$ = a - $\frac{2b\sqrt[3]{a^2} }{3}$Tương tự : $\frac{b^2}{b+2c^3}$ $\geq$ b - $\frac{2c\sqrt[3]{b^2}}{3}$ ; $\frac{c^2}{c+2a^3}$ $\geq$ c - $\frac{2a\sqrt[3]{c^2}}{3}$
$\Rightarrow$ $\frac{a^2}{a+2b^3}$ + $\frac{b^2}{b+2c^3}$ + $\frac{c^2}{c+2a^3}$ $\geq $ a+b+c - $\frac{2}{3}$.$( b\sqrt[3]{a^2}$ +$c\sqrt[3]{b^2}$ + $a\sqrt[3]{b^3}$ )
Ta cần chứng minh : a+b+c - $\frac{2}{3}$ . $( b\sqrt[3]{a^2}$ + $c\sqrt[3]{b^2}$ + $a\sqrt[3]{b^3}$ ) $\geq $1
$\Leftrightarrow $3 - $\frac{2}{3}$ . $( b\sqrt[3]{a^2}$ + $c\sqrt[3]{b^2}$ + $a\sqrt[3]{b^3}$ ) $\geq$ 1
$\Leftrightarrow$ $( b\sqrt[3]{a^2}$ + $c\sqrt[3]{b^2}$ + $a\sqrt[3]{b^3}$ ) $\leq$ 3
Ta có $b\sqrt[3]{a^2}$ $\leq$ $\frac{b.(2a+1)}{3}$
Tương tự rồi cộng lại $\Rightarrow$ dpcm