Tôi làm bước cuối thôi nhé
Với giả thiết quy nạp ở bước 2 ta có $1+\dfrac{1}{\sqrt 2} +\dfrac{1}{\sqrt 3}+...+\dfrac{1}{\sqrt k} <2\sqrt k$
+ Cần chứng minh đúng với $n=k+1$ tức là
$1+\dfrac{1}{\sqrt 2} +\dfrac{1}{\sqrt 3}+...+\dfrac{1}{\sqrt k}+\dfrac{1}{\sqrt {k+1}} <2\sqrt {k+1}$
Thật vậy $1+\dfrac{1}{\sqrt 2} +\dfrac{1}{\sqrt 3}+...+\dfrac{1}{\sqrt k}+\dfrac{1}{\sqrt {k+1}} < 2\sqrt k +\dfrac{1}{\sqrt {k+1}}$
$=\dfrac{2\sqrt k \sqrt{k+1}+1}{\sqrt{k+1}} \ (*)$
Ta có theo Cauchy thì $2\sqrt{ab} \le a+b$
áp dụng vào $2\sqrt{k}.\sqrt{k+1} \le k+k+1 = 2k+1 $ thay vào $(*)$ ta có
$\dfrac{2\sqrt k \sqrt{k+1}+1}{\sqrt{k+1}} \le \dfrac{2k+2}{\sqrt{k+1}} =\dfrac{2\sqrt{(k+1)^2}}{\sqrt{k+1}}=2\sqrt{k+1}$
Mà dấu $=$ không thể xảy ra nên bỏ dấu $=$ đi thôi