tìm số biểu diễn nghiệm ptlg

Question

tìm số biểu diễn nghiệm của pt :

$2\sin x+\cot x=2\sin2x+1$

score 2 · Answer 1

ĐK:

$x \ne k\pi$

Phương trình đã cho tương đương với:

$2\sin^2x+\cos x=4\sin^2x.\cos x+\sin x$

$\Leftrightarrow \sin x(2\sin x-1)-\cos x(4\sin^2x-1)=0$

$\Leftrightarrow (2\sin x-1)[\sin x-\cos x(2\sin x+1)]=0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}2\sin x-1=0&(1)\\\sin x-\cos x(2\sin x+1)=0&(2)\end{array}\right.$

$(1) \Leftrightarrow \sin x=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\end{array}\right.,k\in\mathbb{Z}$

$(2) \Leftrightarrow \sin x-\cos x-2\sin x\cos x=0$

Đặt

$t=\sin x-\cos x=\sqrt2\sin(x-\dfrac{\pi}{4}),|t|\le\sqrt2$

Khi đó

$2\sin x\cos x=1-t^2$

PT

$(2)$ trở thành:

$t^2+t-1=0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}\\t=\dfrac{-1-\sqrt5}{2}\end{array}\right.$

Với

$t=\dfrac{-1-\sqrt5}{2}$ , loại vì

$|t|\le\sqrt2$

Với

$t=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}$ , ta có:

$\sin(x-\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{-1+\sqrt5}{2\sqrt2}$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=\dfrac{\pi}{4}+\arcsin(\dfrac{-1+\sqrt5}{2\sqrt2})+k2\pi\\x=\dfrac{5\pi}{4}+\arcsin(\dfrac{-1+\sqrt5}{2\sqrt2})+k2\pi\end{array}\right.,k\in\mathbb{Z}$