Đặt $x=\tan t \Rightarrow dx =\dfrac{dt}{\cos^2 t}$
$I=\int \tan^2 t .\dfrac{1}{\cos t} .\dfrac{1}{\cos^2 t}dt=\int \dfrac{\sin^2 t}{\cos^5 t}dt=\int \dfrac{\sin^2 t \cos t}{\cos^6 t }dt$
$=\int \dfrac{\sin^2 t d(\sin t)}{(1-\sin^2 t)^3}=\int \dfrac{t^2}{(1-t^2)^3}dt=\int \dfrac{t^2 -1 + 1}{(1-t^2)^3}dt=-\int \dfrac{1}{(1-t^2)^2} +\int\dfrac{1}{(1-t^2)^3}dt =I_1 +I_2$
Hai cái trên tương tự nhau cả, a chỉ e cách làm cái $I_2$ là cái khó hơn nhé
$I_1 =\int \dfrac{1}{(1-t^2)^3}dt = \dfrac{1}{8} \int \bigg [ \dfrac{(1+t) +(1-t)}{(1-t)(1+t)} \bigg ]^3 dt =\dfrac{1}{8}\int \bigg (\dfrac{1}{1+t} +\dfrac{1}{1-t} \bigg )^3dt$
$=\int \bigg (\dfrac{1}{(1+t)^3}+\dfrac{1}{1-t)^3} +3\dfrac{1}{1-t^2}. \bigg [\dfrac{1}{1+t} +\dfrac{1}{1-t} \bigg ] \bigg )dt$
$=\dfrac{1}{8} \bigg (\dfrac{1}{2(1+t)^2} +\dfrac{1}{2(1-t)^2} \bigg ) +\dfrac{1}{8} .6 \int \dfrac{1}{(1-t^2)^2}dt$
$==\dfrac{1}{8} \bigg (\dfrac{1}{2(1+t)^2} +\dfrac{1}{2(1-t)^2} \bigg ) +\dfrac{3}{4}I_1$
Bằng cách phân tích tương tự e tính được $I_1$ nhé