Nếu làm từ từ thì đặt $\sqrt{\ln x +1} = t \Rightarrow \dfrac{dx}{x}=2tdt$
$I=2\int_1^2 \dfrac{2(t^2-1)+1}{t+1} t dt=2\int \dfrac{t(2t^2 -1)}{t+1}dt=2\int \bigg (2t^2 -2t+3 -\dfrac{3}{t+1} \bigg )dt$
$=2\bigg (\dfrac{2}{3}t^3-t^2++3t -3\ln |t+1| \bigg ) \bigg |_1^2 =...$