Cần gấp, chuẩn bị nộp bài rồi mn ơi!

Question

Cho

$n \in Z, n>1$ . CMR:

$n^4 + 4^n$ là hợp số.

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 3/25/2014 2:02:50 PM

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

+ Nếu

$n=2k, k \ge 1$ thì hiển nhiên

$A=n^4+4^n$ là hợp số vì

$A$ chẵn.

+ Nếu

$n=2k-1, k \ge 2$ thì

$A = n^4+4^n=n^4+(2^n)^2=(n^2+2^n)^2-2.n^2.2^n$

$A=(n^2+2^n)^2-2.n^2.2^{2k-1} = (n^2+2^n)^2-n^2.2^{2k} = (n^2+2^n-n.2^k)(n^2+2^n+n.2^k)$ .

Mặt khác dễ thấy

$n^2+2^n \ge 2\sqrt{n^2.2^n}=n.2^{n/2+1}=n.2^{k+1/2}=n.2^k.\sqrt 2 >n.2^k+1$ , với

$k \ge 2.$

Do đó

$n^2+2^n-n.2^k >1$ nên

$A$ là hợp số.

Trả lời 25-03-14 02:02 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Hãy ấn chữ V dưới chữ đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Các bài tiếp theo mình sẽ sẵn sàng giúp đỡ bạn. Thanks! – Trần Nhật Tân 25-03-14 02:02 PM