đang học pttt mà thầy cho cái bài này -_-

Question

Cho

$a,b,c>0, a^2+b^2+c^2=1$

CMR:

$\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{b^2+a^2}\geq \frac{3\sqrt3}{2}$

bài này có trong tài liệu hội thảo của trường Trần PHú thì phải. nhưng vk k nhớ :(

minh_thúy · Answer 1 · 4/22/2014 12:58:24 PM

do

$a^2+b^2+c^3=1$ nên BĐT cần chứng minh tương đương với :

$\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

hay

$\frac{a^2}{a(1-a^2)}+\frac{b^2}{b(1-b^2)}+\frac{c^2}{c(1-c^2)} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

áp dụng BĐT cauchy cho 3 số dương ta có :

$\sqrt[3]{(2a^2)(1-a^2)(1-a^2)} \leq \frac{(2a^2)+(1-a^2)+(1-a^2)}{3} = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow a^2(1-a^2)^2 \leq \frac{4}{27}$

mà

$a>0$ và

$1-a^2 = b^2+c^2 >0$ nên

$0<a(1-a^2) \leq \frac{2}{3\sqrt{3}}$

từ đó ta có :

$\frac{a^2}{a(1-a^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

tương tự ta cũng chứng minh được

$\frac{b^2}{b(1-b^2)}\geq\frac{3\sqrt{3}}{2}b^2$

$\frac{c^2}{c(1-c^2)}\geq\frac{3\sqrt{3}}{2}c^2$

cộng theo vế ta có :

$\frac{a^2}{a(1-a^2)}+\frac{b^2}{b(1-b^2)}+\frac{c^2}{c(1-c^2)}\geq\frac{3\sqrt{3}}{2}(a^2+b^2+c^2)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$ ĐPCM

Trả lời 22-04-14 12:58 PM

minh_thúy
1

25K 26K

thì nó đó. phương pháp tiếp tuyến :D. Này đăch biệt dùm cô si tìm tt thôi – ♂Vitamin_Tờ♫ 24-04-14 09:50 AM

uầy nhưng nhiều người hk biết che bu sep mà – Gia Hưng 23-04-14 08:12 PM

pt tiếp tuyến của đthị hàm số, mà nói chung ta cũng k biết nữa, chịu -_- – gio_lang_thang 23-04-14 07:20 PM

Cm chê bư sếp có khó đâu. @@. pt gì của 11 nhỉ – ♂Vitamin_Tờ♫ 23-04-14 10:21 AM

muốn là muốn c/m mà có ứng dụng pttt của 11 kìa nhưng thôi , kệ :)) – gio_lang_thang 22-04-14 10:31 PM

chuẩn mỗi tội phải c/m a ạ – Gia Hưng 22-04-14 09:42 PM

Dùng chê bư sếp 1 phát là ra ngày luôn :D – ♂Vitamin_Tờ♫ 22-04-14 01:09 PM

1 Đáp án