cho tứ giác ABCD nội tiếp (O;R) ngoại tiếp (I;r) chứng minh $R\geq r\sqrt{2}$chứng minh : gọi độ dài các cạnh tứ giác là a;b;c;d vì (I;r) nội tiếp tứ giác $\Rightarrow a+c=b+d $
dễ dàng chứng minh được : $S_{ABCD}\leq \frac{1}{2}(ad+bc)$ và
$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(ab+cd)$
$\Rightarrow 4S\leq ab+bc+cd+ad=(a+c)(b+d)=(a+c)^2$
S=r(a+c)=r(b+d)
$\Rightarrow R^2\geq \frac{S}{2}$
có $S\leq\frac{1}{2}BD.AC\leq\frac{1}{2}4S $
$\Rightarrow R^2\geq \frac{S}{2}$
mà $4S\leq(a+c)^2\Rightarrow R^2\geq 2r^2\Rightarrow R\geq 2\sqrt{r}$
dấu "=" xảy ra khi O trùng I