cho tứ giác ABCD nội tiếp (O;R) ngoại tiếp (I;r) chứng minh R≥r√2chứng minh : gọi độ dài các cạnh tứ giác là a;b;c;d vì (I;r) nội tiếp tứ giác ⇒a+c=b+d
dễ dàng chứng minh được : SABCD≤12(ad+bc) và
SABCD=12(ab+cd)
⇒4S≤ab+bc+cd+ad=(a+c)(b+d)=(a+c)2
S=r(a+c)=r(b+d)
⇒R2≥S2
có S≤12BD.AC≤124S
⇒R2≥S2
mà 4S≤(a+c)2⇒R2≥2r2⇒R≥2√r
dấu "=" xảy ra khi O trùng I