Xét khai triển: $A=(1+x)^{2n}=C^{0}_{2n}+xC^{1}_{2n}+x^2C^{2}_{2n}+...+x^{2n}C^{2n}_{2n}$Đạo hàm 2 vế, ta được:
$2n(1+x)^{2n-1}=C^{1}_{2n}+2xC^{2}_{2n}+...+2n.x^{2n-1}C^{2n}_{2n}$
Ta lại xét khai triển: $B=(1-x)^{2n}=C^{0}_{2n}-xC^{1}_{2n}+x^2C^{2}_{2n}-...+x^{2n}C^{2n}_{2n}$
Đạo hàm 2 vế, ta được:
$2n(1-x)^{2n-1}=-C^{1}_{2n}+2xC^{2}_{2n}-...+2nx^{2n-1}C^{2n}_{2n}$
Cộng A và B, ta có:
$2[n(1+x)^{2n-1}+n(1-x)^{2n-1}]=2(2xC^{2}_{2n}+4xC^{4}_{2n}+...+2nx^{2n-1}C^{2n}_{2n}$
Thế $x=1$
$\Rightarrow n.2^{2n-1}=2C^{2}_{2n}+4C^{4}_{2n}+...+2nC^{2n}_{2n}=\frac{n}{2}.4^n$ (đpcm)