ai bit lam bai nay k? giúp minh voi

Question

CM

$\forall n\in N^{*}$ ta có

$2C^{2}_{2n} +4C^{4}_{2n}+.....+2nC^{2n}_{2n}=\frac{n}{2}4^{n}$

Nero · Answer 1 · 5/23/2014 1:26:28 AM

Xét khai triển:

$A=(1+x)^{2n}=C^{0}_{2n}+xC^{1}_{2n}+x^2C^{2}_{2n}+...+x^{2n}C^{2n}_{2n}$

Đạo hàm 2 vế, ta được:

$2n(1+x)^{2n-1}=C^{1}_{2n}+2xC^{2}_{2n}+...+2n.x^{2n-1}C^{2n}_{2n}$

Ta lại xét khai triển:

$B=(1-x)^{2n}=C^{0}_{2n}-xC^{1}_{2n}+x^2C^{2}_{2n}-...+x^{2n}C^{2n}_{2n}$

Đạo hàm 2 vế, ta được:

$2n(1-x)^{2n-1}=-C^{1}_{2n}+2xC^{2}_{2n}-...+2nx^{2n-1}C^{2n}_{2n}$

Cộng A và B, ta có:

$2[n(1+x)^{2n-1}+n(1-x)^{2n-1}]=2(2xC^{2}_{2n}+4xC^{4}_{2n}+...+2nx^{2n-1}C^{2n}_{2n}$

Thế

$x=1$

$\Rightarrow n.2^{2n-1}=2C^{2}_{2n}+4C^{4}_{2n}+...+2nC^{2n}_{2n}=\frac{n}{2}.4^n$ (đpcm)

Trả lời 23-05-14 01:26 AM

Nero
1 1

299K 319K

Thấy đúng thì tích vào biểu tượng chữ V màu trắng bên dưới vote down nhé! Lần sau mình sẽ ss giúp đỡ. Tks bạn! – Nero 23-05-14 01:27 AM

1 Đáp án