câu tiếp theo

Question

$Cho x,y \geq 0 ; x^{2} + y^{2} = 1$
Cm:

$\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x^{3} + y^{3} \leq 1$

score 0 · Answer 1

Cần trả +10,000vỏ sò để xem nội dung lời giải này

score 0 · Answer 2

*) Chứng minh:

$x^3+y^3\le1$

Ta có:

$x^2+y^2=1 \Rightarrow 0\le x,y\le 1$

Suy ra:

$x^3+y^3\le x^2+y^2=1$

Dấu bằng xảy ra khi:

$\left[\begin{array}{l}x=0;y=1\\x=1;y=0\end{array}\right.$

*) Chứng minh:

$x^3+y^3\ge\dfrac{1}{\sqrt2}$

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

$x^3+x^3+\dfrac{1}{2\sqrt2}\ge\dfrac{3}{\sqrt2}x^2$

$y^3+y^3+\dfrac{1}{2\sqrt2}\ge\dfrac{3}{\sqrt2}y^2$

Suy ra:

$2(x^3+y^3)+\dfrac{1}{\sqrt2}\ge\dfrac{3}{\sqrt2}(x^2+y^2)=\dfrac{3}{\sqrt2} \Rightarrow x^3+y^3\ge\dfrac{1}{\sqrt2}$

Dấu bắng xảy ra khi:

$x=y=\dfrac{1}{\sqrt2}$