$C^1_n+3C^2_n+2C^3_n=11n (123)$Đk: $n\geq 3$
$(123)\Leftrightarrow C^3_{n+2}+C^3_{n+1}=11n$
$\Leftrightarrow \frac{(n+2)!}{3!(n-1)!}+\frac{(n+1)!}{3!(n-2)!}=11n$
$\Leftrightarrow (n+1)n(2n+1)=66n$
$\Leftrightarrow n(2n^2+3n-65)=0$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} n=0(loại)\\ 2n^2+3n-65=0 \Leftrightarrow n=5\end{matrix}} \right.$
Ta có: $(x^2+x-1)^5=\sum_{k=0}^{5}C^k_5(-1)^{5-k}(x^2+x)^k=\sum_{k=0}^{5}\sum_{i=0}^{k} C^k_5(-1)^{5-k}C^i_kx^{2i}x^{k-i} $
Xét $k+i=3$ $(0\leq i\leq k\leq 5)$
Ta được các cặp nghiệm thỏa:$(i;k)$ là $(3;0)\vee (1;2)$
Vậy hệ số $x^3=C^3_5(-1)^2C^0_3+C^1_2(-1)^3C^2_5=-10$