Nhị thức Newton.

Question

Tìm hệ số của

$x^3$ trong khai triển

$\left(x^2+x-1\right)^n,$ biết

$C^1_n+3C^2_n+2C^3_n=11n$

Nero · Answer 1 · 6/5/2014 4:27:22 PM

$C^1_n+3C^2_n+2C^3_n=11n (123)$

Đk:

$n\geq 3$

$(123)\Leftrightarrow C^3_{n+2}+C^3_{n+1}=11n$

$\Leftrightarrow \frac{(n+2)!}{3!(n-1)!}+\frac{(n+1)!}{3!(n-2)!}=11n$

$\Leftrightarrow (n+1)n(2n+1)=66n$

$\Leftrightarrow n(2n^2+3n-65)=0$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} n=0(loại)\\ 2n^2+3n-65=0 \Leftrightarrow n=5\end{matrix}} \right.$

Ta có:

$(x^2+x-1)^5=\sum_{k=0}^{5}C^k_5(-1)^{5-k}(x^2+x)^k=\sum_{k=0}^{5}\sum_{i=0}^{k} C^k_5(-1)^{5-k}C^i_kx^{2i}x^{k-i}$

Xét

$k+i=3$

$(0\leq i\leq k\leq 5)$

Ta được các cặp nghiệm thỏa:

$(i;k)$ là

$(3;0)\vee (1;2)$

Vậy hệ số

$x^3=C^3_5(-1)^2C^0_3+C^1_2(-1)^3C^2_5=-10$

Trả lời 05-06-14 04:27 PM

Nero
1 1

299K 319K

Thấy đúng thì nhấn vào biểu tượng chữ V bên dưới vote down nha! Lần sau mình sẽ ss giúp đỡ. Tks bạn! – Nero 05-06-14 04:28 PM

1 Đáp án