Hệ phương trình:

Question

$\begin{cases}x^3+3x-3+\ln (x^2-x+1)=y \\y^3+3y-3+\ln (y^2-y+1)=z\\z^3+3z-3+\ln (z^2-z+1)=x \end{cases}$

Nero · Answer 1 · 6/29/2014 3:22:36 PM

Xét hàm số:

$f(t)=t^3+3t-3+\ln(t^2-t+1),D=\mathbb{R}$

thì

$f'(t)=3t^2+3+\frac{2t-1}{t^2-t+1}=3t^2+1+\frac{2t^2+1}{t^2-t+1}>0,\forall t$

Suy ra hàm số đồng biến

Ta có:

$x\leq y\Rightarrow f(x)\leq f(y)\Rightarrow y\leq z\Rightarrow f(y)\leq f(z)\Rightarrow z\leq x$

nên phải có

$x=y=z$ do đó

$x^3+3x-3+\ln(x^2-x+1)=x$ hay

$x^3+2x-3+\ln(x^2-x+1)=0(*)$

Xét hàm số

$g(x)=x^3+2x-3+\ln(x^2-x+1),D=\mathbb{R}$

thì

$g'(x)=3x^2+2+\frac{2x-1}{x^2-x+1}=3x^2+\frac{2x^2+1}{x^2-x+1}>0,\forall x$

Suy ra hàm số đồng biến

Mà

$g(1)=0$ nên phương trình

$(*)$ có nghiệm

$x=1$

$\Rightarrow x=y=z=1$ . Thử lại đúng

Vậy hpt có nghiệm duy nhất

$x=y=z=1$

Trả lời 29-06-14 03:22 PM

Nero
1 1

299K 319K

Quá giỏi! – ★★.P.I.N.O.★★ 29-06-14 03:31 PM

Thấy đúng thì nhấn vào biểu tượng chữ V màu trắng bên dưới vote down nhé Hoàng Huy! Lần sau mình sẽ ss giúp đỡ. Tks bạn! – Nero 29-06-14 03:22 PM

1 Đáp án