Xét hàm số: $f(t)=t^3+3t-3+\ln(t^2-t+1),D=\mathbb{R}$thì $f'(t)=3t^2+3+\frac{2t-1}{t^2-t+1}=3t^2+1+\frac{2t^2+1}{t^2-t+1}>0,\forall t$
Suy ra hàm số đồng biến
Ta có: $x\leq y\Rightarrow f(x)\leq f(y)\Rightarrow y\leq z\Rightarrow f(y)\leq f(z)\Rightarrow z\leq x$
nên phải có $x=y=z$ do đó $x^3+3x-3+\ln(x^2-x+1)=x$ hay $x^3+2x-3+\ln(x^2-x+1)=0(*)$
Xét hàm số $g(x)=x^3+2x-3+\ln(x^2-x+1),D=\mathbb{R}$
thì $g'(x)=3x^2+2+\frac{2x-1}{x^2-x+1}=3x^2+\frac{2x^2+1}{x^2-x+1}>0,\forall x$
Suy ra hàm số đồng biến
Mà $g(1)=0$ nên phương trình $(*)$ có nghiệm $x=1$
$\Rightarrow x=y=z=1$. Thử lại đúng
Vậy hpt có nghiệm duy nhất $x=y=z=1$