Điều kiện: x≥0,y≥0.
{√x+√y+9=9(1)√y+√x+9=9(2)(1)−(2)⇔√x+√y+9−√y−√x+9=0
⇔√x−√x+9=√y−√y+9 (∗)
Xét hàm f(t)=√t−√t+9, t≥0 ta có:
f′(t)=12√t−12√t+9<0 ∀t≥0
nên f(t) nghịch biến trên [0;+∞)
(∗)⇔x=y
Thay vào phương trình (1), ta có:
(1)⇔√x+√x+9=9
Xét hàm g(x)=√x+√x+9−9, ta có:
g′(x)=12√x+12√x+9>0 ∀x≥0
nên g(x) đồng biến trên [0;+∞). Suy ra g(x)=0 có nghiệm duy nhất trên [0;+∞)
Mặt khác g(16)=0 nên ta có x=16⇒y=16 ( TMĐK)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (x;y)=(16;16)