Tính tổng hệ số

Question

Cho khai triển

$(1+\sqrt{2}x)^{n}$ =

$ax_{0} +a_{1}x +a_{2}x^{2} +...+a_{n}x^{n}$

$(n\in N^{*})$

Tính tổng

$A=a_{1} +2ax_{2}+...+n.ax_{n}$ biết

$\frac{2}{C^{2}_{n}}$ +

$\frac{14}{3C^{3}_{n}}$ =

$\frac{1}{n}$

diendien_01 · Answer 1 · 6/17/2014 11:11:23 PM

Từ giải thiết cho

$\frac{2}{C_n^2}+\frac{14}{3C_n^2}=\frac{1}{n}$

$\Leftrightarrow \frac{4}{n(n-1)}+\frac{14.6}{3n(n-1)(n-2)}=\frac{1}{n}$

$\Leftrightarrow \frac{4}{n-1}+\frac{28}{(n-1)(n-2)}=1$

Từ đây bạn giải phương trình này ra sẽ tìm được

$n=-2$ (loại) hoặc

$n =9$

Ta đi tính biểu thức

$B= (1+\sqrt 2 x)^n = (a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+....+a_nx^n)$

lấy đạo hàm 2 vế ta được

$A =B' = a_1+ 2a_2x + 3a_3x^2 +....+na_nx^{n-1} = n\sqrt 2(1+\sqrt 2 x)^{n-1}$

thay

$n =9$ vì biểu thức trên đúng với mọi x nên nó đúng với

$x = 1$

do đó ta có

$A = a_1+2a_2+....9a_9 = 9\sqrt 2(1+\sqrt 2)^8$

1 Đáp án