Chứng minh tổng quá, cho n số dương, chứng minh
$\sqrt{\frac{a_1^2}{a_2}+\frac{a_2^2}{a_3}+...+\frac{a_n^2}{a_1}}\geq \frac{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+...+\sqrt{a_n}}{\sqrt n}$ (1)
Thật vậy
$\left(\frac{a_1^2}{a_2}+\frac{a_2^2}{a_3}+...+\frac{a_n^2}{a_1}\right)n = \left(\frac{a_1^2}{a_2}+\frac{a_2^2}{a_3}+...+\frac{a_n^2}{a_1}\right)(1+1+...+1) \geq \left(\frac{a_1}{\sqrt{a_2}}+\frac{a_2}{\sqrt{a_3}}+...+\frac{a_n}{\sqrt{a_1}}\right)^2$
Ta sẽ chứng minh
$\frac{a_1}{\sqrt{a_2}}+\frac{a_2}{\sqrt{a_3}}+...+\frac{a_n}{\sqrt{a_1}} \geq \sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+...+\sqrt{a_n}$ (2)
Thật vậy xét
$\left(\frac{a_1}{\sqrt{a_2}}+\frac{a_2}{\sqrt{a_3}}+...+\frac{a_n}{\sqrt{a_1}}\right)\left(\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+...+\sqrt{a_n}\right) = \left(\frac{a_1}{\sqrt{a_2}}+\frac{a_2}{\sqrt{a_3}}+...+\frac{a_n}{\sqrt{a_1}}\right)\left(\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}+...+\sqrt{a_n}+\sqrt{a_1}\right) \geq \left(\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+...+\sqrt{a_n}\right)^2$ (3)
Chia cả 2 của (3) vế cho số dương $\left(\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+...+\sqrt{a_n}\right)$
ta chứng minh được (2)
từ chứng minh được (2) ta sẽ chứng minh được (1)
Dấu bằng xảy ra khi $a_1=a_2=..=a_n$
áp dụng với $n =2011$ là ra bài toán của bạn