AI GIÚP BÀI NÀY VỚI, SÁNG MAI ĐI HỌC

Question

Cho

$(x+\sqrt{1+y^2})(y+\sqrt{1+x^2})=1.$ Cmr:

$(x+\sqrt{1+x^2})(y+\sqrt{1+y^2})=1$

hoaphonglan101 · Answer 1 · 6/29/2014 2:27:08 PM

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

Cần trả +5,000vỏ sò để xem nội dung lời giải này

Trả lời 29-06-14 02:27 PM

hoaphonglan101
-99 1 4

208K 101K

2

Wind · Answer 2 · 6/28/2014 11:35:22 PM

Từ đk đề bài ,thực hiện nhân liên hợp ta đc:

$\begin{cases}(x^{2}-y^{2}-1)(y+\sqrt{1+x^{2}})=x-\sqrt{1+y^{2}}\\ (y^{2}-1-x^{2})(x+\sqrt{1+y^{2}}=y-\sqrt{1+x^{2}} \end{cases}$

Lấy 2 pt trừ cho nhau ta đc:

$(x^{2}-y^{2})(y+\sqrt{1+x^{2}}+x+\sqrt{1+y^{2}})+(x-y)-(\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1+y^{2}})=x-y+x^{2}-y^{2}$

$\Leftrightarrow (x^{2}-y^{2})(x+\sqrt{1+y^{2}}+y+\sqrt{1+x^{2}}-2)=0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \begin{matrix} x=y\\ x=-y \end{matrix}\\ x+\sqrt{1+y^{2}} +y+\sqrt{1+x^{2}}=2 (*)\end{matrix} {} \right.$

+)Với x=y thay vào đk đè bài ta đc dpcm(x=-y cũng tương tự)

+)Đặt

$\begin{cases}x+\sqrt{1+y^{2}}=a \\ y+\sqrt{1+x^{2}}=b \end{cases}$ Từ đó kết hợp pt(*) với đk đề bài ta có hệ:

$\begin{cases}ab=1 \\ a+b=2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a= 1\\ b=1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x+\sqrt{1+y^{2}}= 1\\ y+\sqrt{1+x^{2}}=1 \end{cases}$ Lấy 2 pt trừ cho nhau rồi đưa về tích sau đó bạn tự giải tiếp sẽ ra đpcm