Ta có: $A=k^3+m^3+n^3-3kmn=(k+m)^3-3km(k+m)+n^3-3kmn$$=(k+m)^3+n^3-3km(k+m+n)$
$=(k+m+n)[(k+m)^2+n^2-n(k+m)]-3km(k+m+n)$
$=(k+m+n)(k^2+m^2+n^2-km-mn-kn)$
Vì $A$ là số nguyên tố nên $k^2+m^2+n^2-km-mn-kn=1$ và $k+m+n$ là số nguyên tố.
Ta có: $k^2+m^2+n^2-km-mn-kn=1\Leftrightarrow (k-m)^2+(k-n)^2+(m-n)^2=2$
Suy ra $\left\{ \begin{array}{l} k-m=1\\ k-n=1 \\ m-n=0 \end{array} \right.$ (Giả sử $k$ lớn nhất trong 3 số)
Suy ra $k=3;m=n=2$
Vì vai trò các số như nhau nên ta hoán vị chúng.
Vậy các cặp số $k,m,n$ có thể là: $(3;2;2),(2;3;2),(2;2;3)$