Giúp em với mọi người ơi!!!!!!!!!!!!!!!!

Question

Cho x, y, z đôi một khác nhau thỏa mãn đk:

a) $(y-z)\sqrt[3]{1-x^{3}} + (z-x).\sqrt[3]{1-y^{3}} + (x-y)\sqrt[3]{1-z^3}=0$

C/mr:$ (1-x^3)(1-y^3)(1-z^3)=(1-xyz)^3$

b) Nếu $x+y+z=0$ thì $2(x^5 +y^5 + z^5)=5xyz(x^2 + y^2 + z^2)$

Tonny_Mon_97 · Answer 1 · 9/3/2014 8:34:59 PM

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

a+b+c=0<=>a3+b3+c3=3abc (bạn tự cm nhé)

Áp dụng bổ đề ta có:

(y−z)3(1−x3)+(z−x)3(1−y3)+(x−y)3(1−z3)=3(x−y)(y−z)(x−z)(1−x3)(1−y3)(1−z3)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√3

Ta phân tích VT thì:

(y−z)3(1−x3)+(z−x)3(1−y3)+(x−y)3(1−z3)=(y−z)3+(z−x)3+(x−y)3−[(xy−xz)3+(yz−xy)3+(xz−yz)3]=3(x−y)(y−z)(x−z)−3xyz(x−y)(y−z)(x−z)=3(x−y)(y−z)(x−z)(1−xyz)

Như vậy:

3(x−y)(y−z)(x−z)(1−xyz)=3(x−y)(y−z)(x−z)(1−x3)(1−y3)(1−z3)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√3<=>(1−x3)(1−y3)(1−z3)=(1−xyz)3

Đây là đpcm

Trả lời 03-09-14 08:34 PM

Tonny_Mon_97
1

28K 167K

Tonny_Mon_97 · Answer 2 · 9/3/2014 4:05:33 PM

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

Vì $x + y + z = 0$ nên $x + y = – z \Rightarrow (x + y)^3 = –z^3$
Hay $x^3 + y^3 + 3xy(x + y) = –z^3 \Rightarrow 3xyz = x^3+ y^3+ z^3$
Do đó : $3xyz(x^2+ y^2+ z^2) = (x^3+ y^3+ z^3)(x^2+ y^2+ z^2)$
$= x^5 + y^5 + z^5 + x^3(y^2 + z^2) + y^3(z^2 + x^2) + z^3(x^2 + y^2)$
Mà $x^2+ y^2 = (x + y)^2– 2xy = z^2– 2xy (vì x + y = –z)$
Tương tự : $y^2 + z^2 = x^2 – 2yz ; z^2 + x^2 = y^2 – 2zx.$
Vì vậy: $3xyz(x^2 + y^2 + z^2)$
$= x^5+ y^5+ z^5+ x^3(x^2– 2yz) + y^3(y^2– 2zx) + z^3(z^2– 2xy)$
$= 2(x^5 + y^5 + z^5) – 2xyz(x^2 + y^2 + z^2)$
Suy ra : $2(x^5 + y^5 + z^5) = 5xyz(x^2 + y^2 + z^2)$ (đpcm)

Trả lời 03-09-14 04:05 PM

Tonny_Mon_97
1

28K 167K