Gọi số tự nhiên cần tìm là $\overline{ab}$.
Ta có hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}\overline{ab}=4.\overline{ba}+15\\\overline{ab}-9=a^2+b^2\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}10a+b=4(10b+a)+15\\10a+b-9=a^2+b^2\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}2a-13b=5\\a^2+b^2-10a-b+9=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a=9\\b=1\end{array}\right.$, vì ($a,b>0$)
Vậy số tự nhiên cần tìm là 91.