Phương trình đã cho tương đương với:
$x^3+3x-4=(x^2+2)y$
$\Leftrightarrow y=\dfrac{x^3+3x-4}{x^2+2}$
$\Leftrightarrow y=x+\dfrac{x-4}{x^2+2}$
Vì $x,y\in\mathbb{Z}$ nên $x^2+2\mid x-4$
Suy ra: $x^2+2\mid x^2-4x$ mà $x^2+2 \mid x^2+2 \Rightarrow x^2+2\mid 4x+2$
Mà $x^2+2 \mid 4x-16 \Rightarrow x^2+2 \mid18$
Từ đó suy ra: $x\in\{-4;4;-2;2;-1;1;0\}$.
Thử trực tiếp ta được các nghiệm: $(x;y)\in\{(4;4);(-2;-3);(1;0);(0;-2)\}$.