Xét tính tăng giảm và bị chặn của dảy số

Question

$1) u_n= \frac{1}{1.3}+\frac{1}{2.4}+\frac{1}{3.5}+\frac{1} {4.6}+...+\frac{1}{n(n+2)}$

$2) u_n =\frac{1}{1.4}+\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3.6}+...+\frac{1}{n(n+3)}$

$3) u_n = \frac{1}{2.4}+\frac{1}{4.6}+\frac{1}{6.8}+..+ \frac{1}{2n(2n+2)}$

$4) u_n = (1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{4})...(1 +\frac{1}{n})$

$5) u_n = (1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})...(1-\frac{1}{n^2})$

score 0 · Answer 1

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

Câu 5 có thể làm như vầy

$u_n= \dfrac{(2^2-1)(3^2-1)(4^2-1) \dots (n^2-1)}{(2.3.4\dots n)^2}$

$=\dfrac{1.3.2.4.3.5 . ..(n-1)(n+1)}{(2.3.4 . ..n)^2}=\dfrac{2.n.(n+1).[(3.4... (n-1)]^2}{(2.3.4...n)^2}$

$=\dfrac{2n(n+1)}{(2n)^2}=\dfrac{n+1}{2n}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2n}$

Do đó $\dfrac{1}{2} <u_n<1$

Việc xét tăng giản dễ tự làm

Nero · Answer 2 · 11/30/2014 5:21:07 PM

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Câu 1.

Ta có: $\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}[\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}]$ nên:

$\Rightarrow u_n=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{n-3}-\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$

$=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})\leq \frac{3}{4},\forall n\in N^*$

Mặt khác $u_n>0,\forall n\in N^*$

Vậy $(u_n)$ bị chặn dưới

Ta có: $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{(n+1)(n+3)}-\frac{1}{n(n+2)}<0$

$\Rightarrow (u_n)$ là dãy giảm

Trả lời 30-11-14 05:21 PM

Nero
1 1

299K 309K