Hệ phương trình

Question

Giải hệ phương trình

$\begin{cases}\frac{x-1}{y^4}=\frac{x+2\sqrt{x-1}}{(x+y-1)^2}. \\ 3\sqrt{2y-1}+y\sqrt{9-4x}=4x-4. \end{cases}$

score 1 · Answer 1

PT 1 cho ta

$a^2 (a^2+y)^2 = (y^2)^2. (a+1)^2$ với

$a=\sqrt{x-1}$

Dễ dàng có

$a=y$ hay

$y^2=x-1 \Rightarrow x=y^2 +1$ thế pt 2

$3\sqrt{2y-1}+y\sqrt{9-4(y^2+1)}=4(y^2+1)-4$

$\Leftrightarrow 3\sqrt{2y-1}+y\sqrt{5-4y^2}=4y^2$

$\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} \sqrt{2y-1}=0 \\ 3\sqrt{5-4y^2}=10y^2-7y \ (*)\end{matrix} \right.$

Chỉ có duy nhất

$y=1$ thỏa mãn

$(*)$ còn lại bạn đọc tự làm

Giải thích

$a=y$

$a^2 (a^2+y)^2 = (y^2)^2. (a+1)^2$

$\Leftrightarrow [a(a^2+y) -y^2(a+1)].[a(a^2+y) +y^2(a+1)]=0$

Kết hợp điều kiện bài toán rõ ràng là

$a(a^2+y) +y^2(a+1) \ne 0$

Vậy

$a(a^2+y) -y^2(a+1)=0$

$\Leftrightarrow (a^3-ay^2)+(ay-y^2)=0$

$\Leftrightarrow (a-y).[ a(a+y) + y]=0$

$\Leftrightarrow a= y$ vì

$a(a+y) + y >0$

Tất nhiên khi bạn đọc làm cần phải đặt điều kiện cho rõ ràng, chia các trường hợp

$x=1;\ y=\dfrac{1}{2}$ có là nghiệm hệ không

1 Đáp án