bđt

Question

cho a,b,c>0 t/m a+b+c=1.cm:

$\frac{a^{2}+b}{b+c}+\frac{b^{2}+c}{c+a}+\frac{c^{2}+a}{a+b}\geqslant 2$

score 1 · Answer 1

Cách này thì nghĩ cho vui chứ không nên làm theo.

Quy đồng rút gọn sử dụng điều kiện

$a+b+c=1$ quy BĐT cần CM về dạng:

$a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+ac^2 \geq ab+bc+ac-3abc$

$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+ac^2\geq (ab+bc+ac)(a+b+c)-3abc$

Ta có 1 dạng tương đương của BĐT Schur là

$a^3+b^3+c^3+3abc\geq a^2b+b^2a+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2$

Do đó cần chỉ ra

$2(a^2b+b^2c+c^2a)+b^2a+bc^2+a^2c\geq (ab+bc+ac)(a+b+c)(1)$

$(ab+bc+ac)(a+b+c)=a^2b+b^2a+b^2c+c^2b+a^2c+c^2a+3abc$

$BĐT (1)\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a\geq 3abc$ (đúng theo BĐT AM-GM)

Dấu = xảy ra khi

$a=b=c$

chi bằng làm nhiều em ạ! để anh post thêm dạng cho vậy:D – WhjteShadow 28-12-14 06:21 PM

em đang tim nhiều lời giải về bdt trên đây để chuẩn bị thi khảo sát anh thử nghĩ một hay vài cách nữa xem – dynamite 28-12-14 06:13 PM

nhưng một số thôi em ạ chứ k nên lạm xài tính toán phức tạp lắm~~ – WhjteShadow 28-12-14 06:08 PM

cách quy đồng em thấy trong quyển sáng tạo bdt cũng hay dùng mà – dynamite 28-12-14 06:07 PM

dynamite · Answer 2 · 12/28/2014 3:14:42 PM

ta có:

$a^{2}+b=(1-b-c)^{2}+b=1-2(b+c)+(b+c)^{2}+b\rightarrow \frac{a^{2}+b}{b+c}=b+c-2+\frac{1+b}{b+c}=b+c-2+\frac{2b+c+a}{b+c}=b+c-1+\frac{a+b}{b+c}$

tương tự 2 biểu thức còn lại cũng như vậy, cuối cùng ta được

$A=2(a+b+c)-3+\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}+\frac{a+c}{a+b}\geq 2-3+3=2$

dấu bằng xảy ra khi

$a=b=c=\frac{1}{3}$

Trả lời 28-12-14 03:14 PM

dynamite
1

70K 19K

2 Đáp án