Ta có đánh giá quen thuộc: $$ a+b \le \sqrt[3]{4(a^3+b^3)} ~~~~\forall a,b>0$$
Áp dụng đánh giá trên ta có:
$$ \sqrt[3]{\sin A}+\sqrt[3]{\sin B} \le \sqrt[3]{4(\sin A+\sin B)}= \sqrt[3]{8\sin\dfrac{A+B}{2} \sin \dfrac{A-B}{2}} \le 2\sqrt[3]{\cos \frac{C}{2}} \Rightarrow\sqrt[3]{\sin A}+\sqrt[3]{\sin B} \le 2\sqrt[3]{\cos \frac{C}{2}}~~~~~(1)$$
Tương tự:
$$\sqrt[3]{\sin B}+\sqrt[3]{\sin C} \le 2\sqrt[3]{\cos \dfrac{A}{2} }~~~~~~~~~(2)$$
$$\sqrt[3]{\sin C}+\sqrt[3]{\sin A} \le 2\sqrt[3]{ \cos \dfrac{B}{2}}~~~~~~~~~~(3)$$
Cộng vế theo vế $(1)$, $(2)$ và $(3)$ ta được điều phải chứng minh.
Dấu $=$ xảy ra khi $A=B=C=\dfrac{\pi}{3}$