MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ VI-ÉT
I. LÝ THUYẾT
Cho phương trình bậc hai: ax2+bx+c=0(a≠0)(∗)
Có hai nghiệm x1=−b−Δ−−√2a ; x2=−b+Δ−−√2a
Suy ra: x1+x2=−b−Δ−−√−b+Δ−−√2a=−2b2a=−ba
x1x2=(−b−Δ−−√)(−b+Δ−−√)4a2=b2−Δ4a2=4ac4a2=ca
Vậy đặt :
- Tổng nghiệm là S : S= x1+x2=−ba
- Tích nghiệm là P : P=x1x2=ca
Như vậy ta thấy giữa hai nghiệm của phương trình (∗) có liên quan chặt chẽ với các hệ số a,b,c. Đây chính là nội dung của Định lí VI-ÉT
Trong chuyên đề này ta sẽ tìm hiểu 3 dạng toán ứng dụng định lí VI_ÉT
1. Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của phương trình sao cho chúng không phụ thuộc vào tham số.
2. Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm đã cho.
3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
II. CÁC DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT
1. Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của phương trình sao cho chúng không phụ huộc vào tham số.
Phương pháp:
Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a≠0 và Δ≥0)
- Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S=x1+x2 và P=x1x2 theo tham số
- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2. Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2.
Bài 1:
Cho phương trình: (m−1)x2−2mx+m−4=0 có 2 nghiệm x1,x2. Lập hệ thức liên hệ giữa x1,x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Giải:
Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 thì :
{−1≠0△′⩾0⇔{≠1m2−(m−1)(m−4)⩾0⇔{≠15m−4⩾0⇔{≠1m⩾45
Theo hệ thức VI-ÉT ta có :
{+x2=2mm−1x1.x2=m−4m−1⇔{+x2=2+2m−1(1)x1.x2=1−3m−1(2)
Rút m từ (1) ta có :
2m−1=x1+x2−2⇔m−1=2x1+x2−2 (3)
Rút m từ (2) ta có :
3m−1=1−x1x2⇔m−1=31−x1x2 (4)
Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có:
2x1+x2−2=31−x1x2⇔2(1−x1x2)=3(x1+x2−2)⇔3(x1+x2)+2x1x2−8=0
Bài 2:
Gọi x1,x2 là nghiệm của phương trình : (m−1)x2−2mx+m−4=0 .
Chứng minh rằng biểu thức A=3(x1+x2)+2x1x2−8 không phụ thuộc giá trị của m.
Giải:
Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 thì :
{−1≠0△′⩾0⇔{≠1m2−(m−1)(m−4)⩾0⇔{≠15m−4⩾0⇔{≠1m⩾45
Theo hệ thức VI-ÉT ta có :
{+x2=2mm−1x1.x2=m−4m−1 thay vào A ta có:
A=3(x1+x2)+2x1x2−8=3.2mm−1+2.m−4m−1−8=6m+2m−8−8(m−1)m−1=0m−1=0
Vậy A=0 với mọi m≠1 và m⩾45. Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m
Nhận xét:
- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm
- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
Bài 3:
Cho phương trình : x2−(m+2)x+(2m−1) có 2 nghiệm x1 và x2. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1,x2 sao cho x1,x2 độc lập đối với m.
Hướng dẫn:
Dễ thấy Δ=(m+2)2−4(2m−1)=m2−4m+8=(m−2)2+4>0
do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
Theo hệ thức VI-ÉT ta có:
{+x2=m+2x1.x2=2m−1⇔{=x1+x2−2(1)m=x1x2+12(2)
Từ (1) và (2) ta có:
x1+x2−2=x1x2+12⇔2(x1+x2)−x1x2−5=0
Bài 4:
Cho phương trình : x2+(4m+1)x+2(m−4) .
Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn:
Dễ thấy Δ=(4m+1)2−4.2(m−4)=16m2+33>0 do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
Theo hệ thức VI-ÉT ta có
{+x2=−(4m+1)x1.x2=2(m−4)⇔{m=−(x1+x2)−1(1)4m=2x1x2+16(2)
Từ (1) và (2) ta có:
−(x1+x2)−1=2x1x2+16⇔2x1x2+(x1+x2)+17=0
2. Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm đã cho.
Phương pháp:
Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a≠0 và Δ≥0)
- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Bài 1:
Cho phương trình : mx2−6(m−1)x+9(m−3)=0
Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1+x2=x1x2
Giải:
Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 là :
{≠0Δ′=[3(m−21)]2−9(m−3)m⩾0⇔{≠0Δ′=9(m2−2m+1)−9m2+27⩾0⇔{≠0Δ′=9(m−1)⩾0⇔{≠0m⩾−1
Theo hệ thức VI-ÉT ta có: ⎧⎩⎨+x2=6(m−1)mx1x2=9(m−3)m
Và từ giả thiết: x1+x2=x1x2. Suy ra:
6(m−1)m=9(m−3)m⇔6(m−1)=9(m−3)⇔6m−6=9m−27⇔3m=21⇔m=7
(thoả mãn điều kiện xác định )
Vậy với m=7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1+x2=x1x2
Bài 2:
Cho phương trình : x2−(2m+1)x+m2+2=0
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1x2−5(x1+x2)+7=0
Giải:
Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1&x2 là :
Δ′=(2m+1)2−4(m2+2)⩾0
⇔4m2+4m+1−4m2−8⩾0
⇔4m−7⩾0⇔m⩾74
Theo hệ thức VI-ÉT ta có: {+x2=2m+1x1x2=m2+2
và từ giả thiết . Suy ra
(m2+2)−5(2m+1)+7=0⇔3m2+6−10m−5+7=0⇔3m2−10m+8=0⇔[=2(TM)m=43(KTM)
Vậy với m=2 thì phương trình có 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức :
Bài 3:
Cho phương trình : mx2+2(m−4)x+m+7
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1−2x2=0
Hướng dẫn:
- ĐKX Đ: m≠0&m⩽1615
-Theo VI-ÉT: {+x2=−(m−4)mx1x2=m+7m(1)
- Từ Suy ra: {+x2=3x22(x1+x2)=3x1⇒2(x1+x2)2=9x1x2 (2)
- Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau:
m2+127m−128=0⇒m1=1;m2=−128
Bài 4:
Cho phương trình : x2+(m−1)x+(5m−6)=0
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 4x1+3x2=1
Hướng dẫn:
ĐKXĐ: Δ=m2−22m+25⩾0⇔11−96−−√⩽m⩽11+96−−√
Theo VI-ÉT: {+x2=1−mx1x2=5m−6(1)
Từ : 4x1+3x2=1. Suy ra:
\displaystyle{\begin{array}
\left\{ \begin{array}
{x_1} = 1 - 3({x_1} + {x_2}) \\
{x_2} = 4({x_1} + {x_2}) - 1 \\
\end{array} \right. \\ \Rightarrow {x_1}{x_2} = \left[ {1 - 3({x_1} +
{x_2})} \right].\left[ {4({x_1} + {x_2}) - 1} \right] \\
\Leftrightarrow {x_1}{x_2} = 7({x_1} + {x_2}) - 12{({x_1} +
{x_2})^2} - 1 \\
\end{array}} (2)
Thế (1) vào (2) ta có phương trình : 12m(m−1)=0⇔[=0m=1 (thoả mãn ĐKXĐ)
Bài 5:
Cho phương trình : 3x2−(3m−2)x−(3m+1)=0.
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1−5x2=6
Hướng dẫn:
Vì Δ=(3m−2)2+4.3(3m+1)=9m2+24m+16=(3m+4)2⩾0 với mọi số thực m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Theo VI-ÉT: {+x2=3m−23x1x2=−(3m+1)3(1)
Từ giả thiết: .
Suy ra:
\displaystyle{\begin{array}
\left\{ \begin{array}
8{x_1} = 5({x_1} + {x_2}) + 6 \\
8{x_2} = 3({x_1} + {x_2}) - 6 \\
\end{array} \right. \Rightarrow 64{x_1}{x_2} = \left[ {5({x_1} + {x_2}) +
6} \right].\left[ {3({x_1} + {x_2}) - 6} \right] \\
\Leftrightarrow 64{x_1}{x_2} = 15{({x_1} + {x_2})^2} - 12({x_1} + {x_2}) -
36 \\
\end{array}} (2)
Thế (1) vào (2) ta được phương trình: m(45m+96)=0⇔[=0m=−3215 (thoả mãn)
3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
Phương pháp:
Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được:
C=[+mk−B (trong đó A,B là các biểu thức không âm ; m,k là hằng số) (*)
Thì ta thấy : C⩾m (v ì A⩾0) ⇒minC=m⇔A=0
C⩽k (v ìB⩾0) ⇒maxC=k⇔B=0
Bài 1:
Cho phương trình : x2+(2m−1)x−m=0
Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để: A=x21+x22−6x1x2 có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Theo VI-ÉT: {+x2=−(2m−1)x1x2=−m
Theo đề bài : =x21+x22−6x1x2=(x1+x2)2−8x1x2
(2m−1)2+8m=4m2−12m+1=(2m−3)2−8⩾−8
Suy ra: minA=−8⇔2m−3=0 hay m=32
Bài 2:
Cho phương trình : x2−mx+m−1=0
Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
B=2x1x2+3x21+x22+2(x1x2+1)
Giải:
Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì :
{+x2=mx1x2=m−1
⇒B=2x1x2+3x21+x22+2(x1x2+1)=2x1x2+3(x1+x2)2+2=2(m−1)+3m2+2=2m+1m2+2
Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn
Ta biến đổi B như sau:
B=m2+2−(m2−2m+1)m2+2=1−(m−1)2m2+2
Vì (m−1)2⩾0⇒(m−1)2m2+2⩾0⇒B⩽1
Vậy maxB = 1⇔ m = 1
Với cách thêm bớt khác ta lại có:
B=12m2+2m+1−12m2m2+2=12(m2+4m+4)−12(m2+2)m2+2=(m+2)22(m2+2)−12
Vì (m+2)2⩾0⇒(m+2)22(m2+2)⩾0⇒B⩾−12
Vậy minB=−12⇔m=−2
Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.
B=2m+1m2+2⇔Bm2−2m+2B−1=0 (Với m là ẩn, B là tham số) (**)
Ta có: Δ=1−B(2B−1)=1−2B2+B
Để phương trình (**) luôn có nghiệm với mọi m thì Δ≥0
hay
−2B2+B+1⩾0⇔2B2−B−1⩽0⇔(2B+1)(B−1)⩽0
\displaystyle{\Leftrightarrow \left[ \begin{array}
\left\{ \begin{array}
2B + 1 \leqslant 0 \\
B - 1 \geqslant 0 \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}
2B + 1 \geqslant 0 \\
B - 1 \leqslant 0 \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
\left\{ \begin{array}
B \leqslant - \frac{1}{2} \\
B \geqslant 1 \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}
B \geqslant - \frac{1}{2} \\
B \leqslant 1 \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leqslant B
\leqslant 1}
Vậy: maxB = 1⇔ m = 1
minB=−12⇔m=−2
Bài tập tự giải:
Bài 1:
Cho phương trình : x2+4(m+1)x+2(m−4)=0. Tìm m để biểu thức A=(x1−x2)2có giá trị nhỏ nhất.
Bài 2:
Cho phương trình x2−2(m−1)x−3−m=0. Tìm m sao cho nghiệm x1;x2 thỏa mãn điều kiệnx21+x22⩾10.
Bài 3:
Cho phương trình : x2−2(m−4)x+m2−8=0 xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1;x2thỏa mãn
a) A=x1+x2−3x1x2 đạt giá trị lớn nhất
b) B=x21+x22−x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 4:
Cho phương trình : x2−(m−1)x−m2+m−2=0. Với giá trị nào của m, biểu thức C=x21+x22 dạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5:
Cho phương trình x2+(m+1)+m=0. Xác định m để biểu thức E=x21+x22 đạt giá trị nhỏ nhất.