Điều kiện: $\frac{3}{2}\leq x\leq \frac{5}{2}.$Đặt $\begin{cases}u=\sqrt{2x-3} \\ v=\sqrt{5-2x} \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}u^2+v^2=2 \\ uv=\sqrt{16x-4x^2-15} \end{cases}$
Phương trình đã cho trở thành:
$(2v^2+3)u+(2u^2+3)v=2+8uv=u^2+v^2+8uv$
$\Leftrightarrow 2uv(u+v)+3(u+v)=(u+v)^2+6uv$
$\Leftrightarrow (u+v-3)(2uv-u-v)=0$
Với $u+v=3\Leftrightarrow \sqrt{16x-4x^2-15}=\frac{7}{2}$ (vô nghiệm)
Với $u+v=2uv\Leftrightarrow \sqrt{16x-4x^2-15}=1\Leftrightarrow x=2$ (thỏa mãn).
Kết luận: $x=2.$