ta có bất đẳng thức sau: $\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}}{3}$$\geq$$(\frac{a+b+c}{3})^{4}$ (*)cái này cm như sau
với a,b o âm ta luôn có $\frac{a^{2}+b^{2}}{2}$ $\geq$$(\frac{a+b}{2})^{2}$ $\Leftrightarrow$$2(a^{2}+b^{2}) $$\geq$ $(a+b)^{2}$ (luôn đúng) dấu bằng xảy ra khi $a=b$
suy ra $\frac{a^{4}+b^{4}}{2}$ $\geq$ $(\frac{a^{2}+b^{2}}{2})^{2}$ $\geq$ $(\frac{a+b}{2})^{4}$ dau = xay ra khi a=b
co $P=a^{4}+b^{4}+c^{4}+(\frac{a+b+c}{3})^{4}$ $\geq$$2(\frac{a+b}{2})^{4}+2(\frac{a+b+4c}{6})^{4}$ $\geq$ $4(\frac{4a+4b+4c}{12})^{4}$ $=4(\frac{a+b+c}{3})^{4}$
suy ra $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq 3(\frac{a+b+c}{3})^{4}$ suy ra DPCM
ap dung (*) ta co
$16x^{4}+16x^{4} +(1-4x)^{4}\geq 3(\frac{2x+2x+1-4x}{3})^{4}=\frac{1}{27}$
dấu = xảy ra khi $2x=1-4x$ $\Leftrightarrow$ $x=\frac{1}{6}$
vậy pt có nghiệm duy nhất $x=\frac{1}{6}$