ĐK: $x\geq4$ ; $x\geq y^{3}$ ; $4y-x+1\geq0$
Từ pt(1) ta có : $x=\frac{4}{3}y^{3}+\frac{1}{3}y^{2} - \frac{5}{3}y+5$thay vào pt(2) ta đc :
(2)$\Leftrightarrow \sqrt{4y^{3}+y^{2} - 5y+3} + \sqrt{y^{3} + y^{2} - 5y +15} + \sqrt{-4y^{3} - y^{2} + 17y - 12} = 2\sqrt{3} + \sqrt{3y^{2}}$ Với ĐK: $1\leq y\leq \frac{-5+\sqrt{217}}{8}$
$\Leftrightarrow \sqrt{4y^{3}+y^{2} - 5y + 3} - \sqrt{3y^{3}} + \sqrt{y^{3}+y^{2} - 5y +15} - 2\sqrt{3} + \sqrt{-4y^{3} - y^{2} + 17y - 12} = 0 $
$ \Leftrightarrow \frac{\left ( y+3 \right )\left ( y - 1 \right )^{2}}{\sqrt{4y^{3}+y^{2} - 5y + 3}+\sqrt{3y^{3}}} + \frac{\left ( y+3 \right )\left ( y - 1 \right )^{2}}{\sqrt{y^{3} + y^{2} - 5y +15} + 2\sqrt{3}} + \sqrt{4\left ( y+1 \right )\left ( y+\frac{5+\sqrt{217}}{8} \right )\left ( \frac{-5 + \sqrt{217}}{8} - y\right )} = 0 $
$\Leftrightarrow \sqrt{y-1} =0$ (*) hoặc $\frac{\left ( y+3 \right )\left ( \sqrt{y-1} \right )^{3}}{\sqrt{4y^{3}+y^{2}-5y+3}+\sqrt{3y^{3}}}$ $+\frac{\left ( y+3 \right )\left ( \sqrt{y-1} \right )^{3}}{\sqrt{y^{3}+y^{2}-5y+15}+2\sqrt{3}}$ $+\sqrt{\left ( y+\frac{5+\sqrt{217}}{8} \right )\left ( \frac{-5+\sqrt{217}}{8}-y \right )} = 0 $ (**)
giải phương trình (*) ta được nghiệm là $\left ( x;y \right )=\left ( 5;1 \right )$ ( thỏa đk nên nhận )
Dễ dàng thấy phương trình (**) vô nghiệm do $1\leq y \leq \frac{-5+\sqrt{217}}{8}$ nên (**)$>0$
Vậy hpt đã cho có 1 nghiệm duy nhất là $\left ( x;y \right )=\left ( 5;1 \right )$